ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.

Siendo V una función de x, y, z. Con la finalidad de ilustrar lo señalado respecto a las características  la solución general de la Ecuación de Laplace y la forma de determinar el valor de las constantes en la solución mediante las condiciones de frontera se obtiene primero la solución de la ecuación considerando que sólo existe dependencia en una variable, para luego tratar los casos en dos y tres variables. En el caso de dependencia en dos variables se muestra la obtención de la solución mediante el Método de Separación de Variables, método que será empleado en otros casos posteriormente.

1. COORDENADAS CARTESIANAS.

El problema fundamental de la teoría del potencial es encontrar una solución de la ecuación de Laplace que satisfaga ciertas condiciones de frontera  de la región considerada.
En ciertos sistemas de coordenadas podemos ir más allá y escribir la solución como un producto de funciones de las coordenadas individuales, de modo que las condiciones de frontera puedan aplicarse a factores separados de una variable.
Puede agregarse que mientras que no existe un método general de solución de ecuaciones diferenciales a derivadas parciales, la separación reduce la ecuación de Laplace a un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, que en principio siempre tienen solución.
La ecuación de Laplace es:

y desarrollando en dos dimensiones:

Supongamos que V(x,y)=X(x).Y(y), donde X es una función de x solamente e Y una función de Y. La ecuación de Laplace resulta:

y dividiendo por V=X.Y

Observamos que el miembro de la izquierda no contiene a y. En consecuencia no cambia cuando y varía. Análogamente el miembro de la derecha no contiene a x, y no cambia al variar x. Como los dos miembros son iguales, su valor común no puede cambiar cuando se modifica alguna de las variables y en consecuencia debe ser una constante k2.
La constante k2 es llamada parámetro de separación. Reemplazando en la última igualdad resulta el sistema de ecuaciones:

Y"+k2Y=0
X"-k2X=0

que tienen soluciones generales:

Y=A senky + B cosky
X=C ekx + D e-kx

EJERCICIO : Demuestre las soluciones obtenidas. Suponga X=epx e Y=epy.

El producto de las soluciones generales del sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias es una solución general de la ecuación de Laplace bidimensional. V(x,y)= ( C ekx +  D e-kx).(A senky + B cosky). Aplicaremos este resultado a dos ejemplos.

EJEMPLO 1.

FIGURA 1

Dos placas conductoras paralelas infinitas, Figura 1, están separadas por una distancia a. Las placas están puestas a tierra (0 V) y una tercera placa, aislada de las anteriores se encuentra a potencial 1 V respecto de aquellas, como se muestra en la figura. El medio entre las placas es aire. Halle la distribución de potencial.
La solución de la ecuación de Laplace para dos dimensiones fue hallada en el apartado anterior:

V(x,y)= ( C ekx +  D e-kx).(A senky + B cosky)

sujeta en este problema a las siguientes condiciones de borde:

V(x,a)=0
V(0,y)=1
V(x,0)=0
V(infinity ,y)=0

La última condición de contorno nos indica que el potencial se desvanece cuando nos alejamos del origen. Para que ello ocurra la constante C debe ser igual a cero. Para satisfacer V(x,0)=0 debe ser B=0. La solución se reduce a :

V(x,y)=(A.D) e-kx sen ky

Dado que V(x,a)=0 y la exponencial no se anula, debe ser senka=0 o ka=np , con n=0,1,2,3,.........., de donde k=np /a. Reemplazando en la función potencial :

Esta función por si sola no satisface la condición V(0,y)=1. En efecto:

Sin embargo, dado que la ecuación de Laplace es lineal, la condición puede ser satisfecha por una suma de funciones de la forma anterior, tal que:

donde los Cn son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de una función impar tal que y vale 1 en el intervalo [0,a].
Sea una onda cuadrada de amplitud unitaria:

Calculemos y representemos su desarrollo en serie de Fourier hasta la décima armónica espacial:

Los coeficientes Cn de los términos en coseno son nulos por tratarse de una función impar. Para los términos en seno solamente son distintos de cero los coeficientes correspondientes a n impar. Observando sus valores se comprueba que valen:

C[n_]=4/(n Pi)

A mayor cantidad de términos se mejora la aproximación a la función original.

Considerando hasta la armónica 51 resulta:

Representamos en la Figura 2:

FIGURA 2

En la Figura 2 se observa como aproxima la función propuesta a la condición de contorno, para x=0.
A continuación representamos las líneas equipotenciales y el campo eléctrico, Figura 3:

FIGURA 3